RELASI

#Relasi Biner
Relasi biner antara A dan Bb adalah himpunan dari A X B

 R ⊆ (A x B)

     A : Daerah asal (domain)

     B : Daerah hasil (range/codomain)

 contoh: 

     A : {2,3,4}

     B : {2,4,8,9,15}

     R : {(a,b)|a∈A ∧ b∈B ∧ a habis membagi b } 

jumlah pasangan yang mungkin | AxB | = 3 x 5 = 15

     R : {(2,2),(2,4),(4,4),(2,8),(4,8,),(3,9),(3,15)}

     R ⊆ (AxB) ,  |R| = 7

#Relasi Inversi
Jika R adalah relasi dari A ke B, maka inversi relasi R adalah R' adalah relasi dari B ke A :

R' = {(b,a)|(a,b)∈R}

 contoh :
     R : {(2,2),(2,4),(3,6),(3,9),(4,4)}
     R' : {(2,2),(4,2),(6,3),(9,3),(4,4)}
     R' : {(b,a)|a∈A ∧ b∈B ∧ b kelipatan dari a}


Sifat Sifat Relasi

~Refleksif(reflexive)
===Jika (a,a)∈R untuk setiap a∈A===
contoh :
   A : {1,2,3,4}
   *  R : {(1,1),(1,2),(2,1,),(2,2,),(3,3),(4,1),(4,3),(4,4)}
               karena terdapat elemen relasi (a,a) yaitu :
                (1,1),(2,2)(3,3)(4,4)

   *  R : {(1,1,),(2,2),(2,3)(4,2),(4,4)}
               karena (3,3) ∉ R

~Setangkup (symmetric)
===Jika (a,b)∈R maka (b,a)∈R ∀ (a,b∈A )
     A : {1,2,3,4}
     * R : {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,4)}
               karena (1,2) & (2,1), (2,4) &(4,2)
     * R : {(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)}
               karena (2,3)∈R tapi (3,2)∉R

~Tolak Setangkup(antisymetric)
===jika (a,b)∈R & (b,a)∈R , maka a=b ∀ (a,b)∈A
     A : {1,2,3,4}
     * R : {(1,1),(1,2),(2,2)(2,3)}
              karena (1,1) ∉R & 1=1 , (2,2) ∈ R & 2=2
     * R : {(1,1),(2,2),(3,3)}
              karena (1,1) ∈R & 1=1, (2,2) ∈ R & 2,2, (3,3) ∈ R & 3=3
     * R : {(1,1),(2,4),(3,3),(4,2)}
              karena 2⁤≠4 tapi (2,4)&(4,2) anggota  R

~Menghantar(transitive)
===jika(a,b)∈R dan (b,c)∈R, maka (a,c)∈R ∀ (a,b,c∈A)
     A : {1,2,3,4}
      * R : {(2,1),(3,1),(3,2)(3,3),(4,1),(4,2),(4,3)}
               kerena (3,2),(2,3),(3,3)∈R,
      * R : {(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)}
               karena (2,4)&(4,2)∈R tapi (2,2)∉R
               karena (4,2)&(2,3)∈R tapi (4,3)∉R

Relasi Kesetaraan (Equivalence Relation)
  jika memiliki sifat refleksif, setangkup & menghantar
     *R : {(x,y) | x,y∈ mahasiswa∧(x seangkatan dengan y }
         -jika a seangkatan b maka pasti b seangkatan dengan a
           = setangkup
         - a pasti seangkatan dengan dirinya sendiri 
           = refleksif
         - jika a setangkup b,b senagkatan c, pasti a seangkatan c
           = menghantar

 Relasi Pengurutan Parsial (parsial ordering relation)
   jika memiliki sifat refleksif, tolak setangkup & menghantar
     *Relasi ≥ pada himpunan bilangan bulat
        - a ≥a untuk setiap bilangan bulat
           =reflektif 
        - jika a ≥b dan b ≥a maka a=b 
           = tolak setangkup 
        - jika a ≥b dan b ≥c maka a ≥c   
       =menghantar