Induksi Matematika

- Metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan bulat
- merupaka teknik pembuktian yang baku di dalam matematika
- dapat mengirangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua billangaan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan langkah terbatas

Jumlah bilangan positif 1 sampai n

n(n+1)/2

contoh :
     n = 6
    jumlah bilangan positif 1 sampai 6
   = n(n+1)/2
   =6(6+1)/2
   = 21

    bukti :
    =1+2+3+4+5+6
    =21
   (benar)


Prinsip induksi 
Misalkan p(n) adalah proposisi bilangan bulat positif  dan ingin dibuktikan bahwa p(n) adalah benar untuk semua bilangan bulat positif n. maka langkah-langkahnya sebagai berikut:
- p(n) benar
- Jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk setiiap n≥1

Basis Induksi
- untuk membuktikan bila n diganti dengan 1, yang merupakan bilangan bulat positif terkecil
- buat implikasi untuk fungsi berikutnya benar untuk setiap bilangan bulat positif

Langkah induksi
-berisi asumsi (andalan) yang menyatakan bahwa p(n) benar
-asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi
-kedua langkah tersebut benar maka pembuktian p(n) benar untuk semua bilangan positif n



1. Basis Induksi
   p(1) benar  n=1
   p(n) = n(n+1)/2
           =1(1+1)/2
           = 2/2
           =1

2. Langkah Induksi
   Misalkan p(n)benar, asumsi bahwa   1+2+3+...+n = n(n+1)/2 adalah benar (hipotesis induksi)
   Perlihatkan bahwa p(n+1) juga benar yaitu:
      1+2+3+...+n+(n+1) = (n+1)[(n+1)+1/2]
      1+2+3+...+n+(n+1) = [1+2+3+...+n] + (n+1)
                                      = [n(n+1)/2] + (n-1)
                                      = [(n^2+n)/2] + (n+1)
                                      = [n^2+n/2] + [(2n+2)/2]
                                      = (n^2+3n+2)/2
                                      = (n+1)(n+2) /2
                                      = (n+1)[(n+1)+1]/2
Langkah 1&2 dibuktikan dengan benar, maka untuk semua bilangan bulat positif n, terbukti bahwa untuk semua p ≥ 1, 1+2+3+...+n = n(n+1)/2